Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋2的圖像與y軸交于C點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A（－2，0)，B（6，0）.

⑴ 求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵ P是該函數(shù)在第一象限內(nèi)圖像上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，連接PC、AC.

① 求線段PQ的最大值；

② 若以點(diǎn)P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①PQ的最大值= ，② P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1（4，2），P2

【解析】分析：(1)把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的解析式中求解；(2)過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)N交BC于點(diǎn)M，P點(diǎn)坐標(biāo)為，用t表示出點(diǎn)M，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求PM的最大值，再結(jié)合三角形相似求PQ的最大值；(3)分兩種情況畫出圖形，根據(jù)平行線或相似三角形求解.

詳解：⑴∵y＝ax2＋bx＋的圖像過點(diǎn)A(－2，0)，B(6，0).

∴解之得：；

∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為：.

⑵①設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：，且0＜t＜6，

令x＝0，則y＝4，∴C(0，2).

設(shè)BC的表達(dá)式為：

y＝mx＋n(m≠0)過B(6，0)，C(0，)，

，解之得：，∴BC的表達(dá)式為：，

過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)N交BC于點(diǎn)M，(如圖1)

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，∴它的縱坐標(biāo)為，

∴M.

PM＝yP－yM＝，

∵x軸⊥y軸，PQ⊥BC，PD⊥x軸.

∴∠AOC＝∠COB＝∠CQP＝∠PQM＝∠MDB＝90°，

又∵AO＝2，OB＝8，CO＝4，

∴，∴△OAC∽△OCB，∴∠ACO＝∠CBO＝∠MPQ，

∴△OAC∽△OCB∽△DMB∽△QMP.

∵，

∴cos∠MPQ＝cos∠ACO＝.

∵cos∠MPQ＝，

∴.

∵a＜0，且t＝3的值在0＜t＜6的范圍內(nèi)，

∴當(dāng)t＝3時，PQ的最大值＝.

②(ⅰ)當(dāng)△QPC∽△OAC時，(如圖2)

則∠ACO＝∠CBA＝∠PCQ，

∴PC∥x軸，

由拋物線的對稱性知：點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，).

(ⅱ)當(dāng)△QCP∽△OAC時，(如圖3)

則∠CAO＝∠PCQ，

∴tan∠CAO＝tan∠PCQ，

過點(diǎn)B作BD⊥BC交CP的延長線于點(diǎn)D，

再過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，

則△OBC∽△EDB，

∴，

∴BE＝CO＝×2＝6，∴OE＝OB＋BE＝12，

DE＝BO＝×6＝6，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(12，6).

設(shè)直線CD的表達(dá)式為y＝ex＋f，且過點(diǎn)C(0，)，D(12，6)，

∴，解得，.

∴直線CD的表達(dá)式為：，

∴P坐標(biāo)是方程組的解，

解之得：(舍)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為().

綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1(4，)，P2().