Question

【題目】如圖，己知，，，斜邊，為垂直平分線，且，連接，.

（1）直接寫出__________，__________；

（2）求證：是等邊三角形；

（3）如圖，連接，作，垂足為點，直接寫出的長；

（4）是直線上的一點，且，連接，直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見解析（3）（4）或

【解析】

（1）根據含有30°角的直角三角形的性質可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC的長；

（2）由為垂直平分線可得DB=DA，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE，故∠BDE為60°，即可證明是等邊三角形；

（3）由（1）（2）可知，，AD=4，進而可求得CD的長，再由等積法可得，代入求解即可；

（4）分點P在線段AC上和AC的延長線上兩種情況，過點E作AC的垂線交AC于點Q，構造Rt△PQE，再根據勾股定理即可求解.

（1）∵，，，斜邊，

∴，∴；

（2）∵為垂直平分線，∴ADB=DA，

在Rt△BDE中，

∵，，

∴，

∴BD=2BE，∴∠BDE為60°，

∴為等邊三角形；

（3））由（1）（2）可知，，AD=4，

∴，

∵，

∴，

∴；

（4）分點P在線段AC上和AC的延長線上兩種情況，

如圖，過點E作AC的垂線交AC于點Q，

∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，

∵，∴，

①若點P在線段AC上，

則，

∴；

②若點P在線段AC的延長線上，

則，

∴；

綜上，PE的長為或.