Question

【題目】已知拋物線經過點和點，且．

如圖，若點恰好是拋物線的頂點，請寫出它的對稱軸和的值．

若，求、的值，并指出此時拋物線的開口方向．

若拋物線的開口向下，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸為直線x=﹣3，t=﹣6；（2），拋物線開口向上；（3）且．

【解析】

（1）根據函數圖象可直接得到對稱軸方程，利用拋物線的對稱性可得到P點坐標，即得到t的值；

（2）利用待定系數法確定a、b的值，然后根據二次函數的性質確定拋物線開口方向；

（3）由于拋物線y=ax2+bx的開口向下，且過點A（﹣3，﹣3），P(t，0)，把A（﹣3，﹣3），P(t，0)代入拋物線解析式，求出a與t的關系式，再由拋物線開口向下即可得到t的范圍．

（1）根據函數圖象得拋物線的對稱軸為直線x=﹣3，由圖可知：拋物線與x軸的交點坐標為（﹣6，0），（0，0），所以t=﹣6；

（2）把A（﹣3，﹣3）和P（﹣4，0）代入y=ax2+bx得：，解得：，所以拋物線的解析式為y=x2+4x，因為a=1＞0，所以拋物線開口向上；

（3）t＞﹣3且t≠0．

將A（﹣3，﹣3）和點P（t，0）代入y=ax2+bx得：，由①得：b=3a+1

把b=3a+1代入②得：at2+t（3a+1）=0．

∵t≠0，∴at+3a+1=0，∴a=．

∵拋物線開口向下，∴a＜0，∴＜0，∴t+3＞0，∴t＞﹣3，∴t＞﹣3且t≠0．