Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．

（1）如圖①，當點Q在線段AC上，求證：△BPE∽△CEQ；

（2）如圖①，當點Q在線段AC上，當AP=4，BP=8時，求P、Q兩點間的距離；

（3）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上，若BP=2a，CQ=9a，求PE：EQ的值，并直接寫出△EPQ的面積 （用含a的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PQ=5；（3）a2．

【解析】

試題分析：（1）由△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，得到∠2=∠4，又由∠B=∠C=45°，即可證得：△BPE∽△CEQ；

（2）連接PQ．根據△BPE∽△CEQ，得到對應邊成比例，計算得到CQ=9，AQ=3，由勾股定理可得PQ=5；

（3）根據△BPE∽△CEQ，得到=，求出BE=CE=3a，計算即可求出PE：EQ的值，連接PQ，作PH⊥BC于H，PG⊥EF于G，根據等腰直角三角形的性質求出QE、PG，根據三角形的面積公式計算即可．

（1）證明：連接PQ，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴∠1+∠2=135°，

∵△DEF是等腰直角三角形，

∴∠3=45°，

∴∠1+∠4=135°，

∴∠2=∠4，

∵∠B=∠C=45°，

∴△BPE∽△CEQ；

（2）∵AP=4，BP=8，

∴AB=AC=12，

∴BC=12，

∵由（1）知，△BPE∽△CEQ，

∴=，

∴=，

∴CQ=9，

∴AQAC﹣CQ=3，又AP=4，

∴PQ=5；

（3）∵△BPE∽△CEQ，

∴=，即=，

解得，BE=CE=3a，

∴PE：EQ=BP：CE=：3，

如圖②，連接PQ，作PH⊥BC于H，PG⊥EF于G，

∵∠B=45°，BP=2a，

∴PH=BH=a，又BE=3a，

∴HE=2a，

∴PE==a，

∴PG=GE=a，

∵PE：EQ=：3，

∴QE=3a，

∴△EPQ的面積=×QE×PG=a2．