Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E，且∠CBD=∠A．
（1）觀察圖形，猜想BD與⊙O的位置關系；
（2）證明第（1）題的猜想

Answer 1

【答案】（1）相切；（2）詳見解析.

【解析】

（1）觀察圖形，可得BD與⊙O的位置關系：相切；
（2）首先連接OD，由AE是⊙O的直徑，在Rt△ABC中，∠C=90°，易證得DE∥BC，又由∠CBD=∠A，可證得∠ODE+∠EDB=90°，即可證得結論．

（1）解：相切．

（2）證明：連接OD，

∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠AED=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∵∠CBD=∠A，
∴∠EDB=∠A，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE+∠EDB=90°，
即OD⊥BD，
∴BD與⊙O的位置關系是相切．