Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，一次函數的圖象與x軸交于點A，拋物線經過O、A兩點。

 （1）試用含a的代數式表示b；

（2）設拋物線的頂點為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內，它所在的圓恰與OD相切，求⊙D半徑的長及拋物線的解析式；

（3）設點B是滿足（2）中條件的優弧上的一個動點，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P，使得？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）解法一：∵一次函數的圖象與x軸交于點A

    ∴點A的坐標為（4，0）

    ∵拋物線經過O、A兩點

          

 解法二：∵一次函數的圖象與x軸交于點A

    ∴點A的坐標為（4，0）

    ∵拋物線經過O、A兩點

    ∴拋物線的對稱軸為直線

           

（2）解：由拋物線的對稱性可知，DO＝DA

    ∴點O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO

    又由（1）知拋物線的解析式為

    ∴點D的坐標為（）

    ①當時，

    如圖1，設⊙D被x軸分得的劣弧為，它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與⊙D關于x軸對稱，設它的圓心為D'

    ∴點D'與點D也關于x軸對稱

    ∵點O在⊙D'上，且⊙D與⊙D'相切

    ∴點O為切點        ∴D'O⊥OD

    ∴∠DOA＝∠D'OA＝45°

∴△ADO為等腰直角三角形      

∴點D的縱坐標為-2

 

    ∴拋物線的解析式為

    ②當時，

    同理可得：

    拋物線的解析式為

    綜上，⊙D半徑的長為，拋物線的解析式為或

（3）解答：拋物線在x軸上方的部分上存在點P，使得

    設點P的坐標為（x，y），且y＞0

①     當點P在拋物線上時（如圖2）

    ∵點B是⊙D的優弧上的一點

          

    過點P作PE⊥x軸于點E

   

    由解得：（舍去）

    ∴點P的坐標為

    ②當點P在拋物線上時（如圖3）

    同理可得，

    由解得：（舍去）

    ∴點P的坐標為

    綜上，存在滿足條件的點P，點P的坐標為：

    或