Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB分別交OC于點E，交弧BC于點D，連接CD、OD，給出以下5個結論：①OD∥AC；②AC=2CD；③CE=OE；④S_△AEC=2S_△DEO；⑤線段OD是DE與DA的比例中項；其中正確結論的序號是______．

Answer 1

證明：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO=

1

2

∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴故①選項正確．

②過點O作OG⊥AC，
∵OG⊥AC，
∴

AG

=

CG

，
∵半徑OC⊥AB于點O，
∴

AG

=

CG

=

CD

，
∴AG=GC=CD，
∴AC＜2CD，
∴故②選項錯誤．

③∵在△AEC和△AEO中，只有∠CAD=∠DAO，其它兩角都不相等，
∴不能證明△AEC和△AEO全等，
∴故③選項錯誤；

④過點E作EM⊥AC于點M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分別交OC于點E，
EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=

2

ME=

2

EO，
由①得：∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DOE，
∴

EC

EO

=

2

，
∴

S△AEC

S△DEO

=（

2

）²=2，
∴S_△AEC=2S_△DEO；故此選項正確，

．⑤∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAC=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AC∥DO，
∴∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴△ADO是等腰三角形，
△DOE中，∠ADO=22.5°，∠EOD=45°，
∴△ADO和△DOE不相似，
∴線段OD不是DE與DA的比例中項，
∴故⑤錯誤．
綜上所述，只有①④正確．
故答案為：①④．