Question

【題目】如圖，點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點處（），一邊在射線上，另一邊在直線的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點逆時針旋轉至圖2，使一邊在的內部，且恰好平分，求的度數；

（2）將圖1中的三角板繞點以每秒5的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第秒時，直線恰好平分銳角，求的值；

將圖1中的三角板繞點逆時針旋轉至圖3，使一邊在的內部，請探究的值．/span>

Answer 1

【答案】（1）35°；（2）11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．

【解析】

（1）根據角平分線的定義通過計算即可求得∠BON的度數；

（2）當ON的反向延長線平分∠AOC時或當射線ON平分∠AOC時這兩種情況分別討論，根據角平分線的定義以及角的關系進行計算即可；

（3）根據∠MON=90°，∠AOC=70°，分別求得∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，再根據∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）進行計算，即可得出∠AOM與∠NOC的數量關系．

解：（1）如圖2中，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵∠BOC=110°，
∴∠MOB=55°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；
（2）（2）分兩種情況：
①如圖2，∵∠BOC=110°
∴∠AOC=70°，
當當ON的反向延長線平分∠AOC時，∠AOD=∠COD=35°，
∴∠BON=35°，∠BOM=55°，
即逆時針旋轉的角度為55°，
由題意得，5t=55°
解得t=11；
②如圖3，當射線ON平分∠AOC時，∠NOA=35°，
∴∠AOM=55°，
即逆時針旋轉的角度為：180°+55°=235°，
由題意得，5t=235°，
解得t=47，
綜上所述，t=11s或47s時，直線ON恰好平分銳角∠AOC；
故答案為：11或47；
（3）∠AOM-∠NOC=20°．
理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）=20°，
∴∠AOM與∠NOC的數量關系為：∠AOM-∠NOC=20°．