Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線BD上，以OD的長為半徑的⊙O與AD，BD分別交于點E、點F，且∠ABE=∠DBC．

（1）判斷直線BE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若sin∠ABE=，CD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線BE與⊙O相切，證明見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】分析：（1）連接OE，根據矩形的性質，可證∠BEO=90°，即可得出直線BE與⊙O相切；

（2）連接EF，先根據已知條件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的長，設出⊙O的半徑為r，利用切線的性質，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．

詳解：（1）直線BE與⊙O相切．理由如下：

連接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．

∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE．

又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED，

∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直線BE與⊙O相切；

（2）連接EF，方法1：

∵四邊形ABCD是矩形，CD=2，∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2．

∵∠ABE=∠DBC，∴sin∠CBD=

∴，

在Rt△AEB中，∵CD=2，∴．

∵tan∠CBD=tan∠ABE，∴，

由勾股定理求得．

在Rt△BEO中，∠BEO=90°，EO2+EB2=OB2．

設⊙O的半徑為r，則，∴r=，

方法2：∵DF是⊙O的直徑，∴∠DEF=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2．

∵∠ABE=∠DBC，∴sin∠CBD=．

設，則．

span>∵CD=2，∴．

∵tan∠CBD=tan∠ABE，∴，

∴E為AD中點．

∵DF為直徑，∠FED=90°，∴EF∥AB，∴，∴⊙O的半徑為．