Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD、CF分別是∠BAC、∠ACB的角平分線，且AD、CF交于點I，IE⊥BC與E，下列結論：①∠BIE＝∠CID；②S△ABC＝IE(AB＋BC＋AC)；③BE＝(AB＋BC－AC)；④AC＝AF＋DC.其中正確的結論是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①由I為△ABC三條角平分線的交點，IE⊥BC于E，得到∠ABI=∠IBD，由于∠CID+∠ABI=90°，即∠CIE+∠DIE+∠IBD=90°，于是得到∠BIE=∠CID；即①成立；②由I是△ABC三內角平分線的交點，得到點I到△ABC三邊的距離相等，根據三角形的面積即可得到即②成立；③如圖過I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，有I是△ABC三內角平分線的交點，得到IE=IH=IG，通過Rt△AHT≌△RtAGI，得到AH=AG，同理BE=BF，CE=CG，于是得到即③成立；④由③證得IH=IE，∠FHI=∠IED=90°，于是得到△IHF與△DEI不一定全等，即④錯誤．

①∵I為△ABC角平分線的交點，IE⊥BC于E，

∴∠ABI=∠IBD，

∵∠DIC=∠DAC+∠ACI=（∠BAC+∠ACB），∠ABI=∠ABC，

∴∠CID+∠ABI=90°，

∵IE⊥BC于E，

∴∠BIE+∠IBE=90°，

∵∠ABI=∠IBE，

∴∠BIE=∠CID；

即①成立；

②∵I是△ABC三內角平分線的交點，

∴點I到△ABC三邊的距離相等，

∴S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=ABIE+BCIE+ACIE=IE（AB+BC+AC），即②成立；

③如圖過I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，

∵I是△ABC三內角平分線的交點，

∴IE=IH=IG，

在Rt△AHT與△RtAGI中，

，

∴Rt△AHT≌△RtAGI，

∴AH=AG，

同理BE=BH，CE=CG，

∴BE+BH=AB+BC-AH-CE=AB+BC-AC，

∴BE=（AB+BC-AC）；即③成立；

④由③證得IH=IE，

∵∠FHI=∠IED=90°，

∴△IHF與△DEI不一定全等，

∴HF不一定等于DE，

∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD，即④錯誤．

故選A．