Question

【題目】小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把繞點順時針旋轉得到，把繞點逆時針旋轉得到，連接．當時，請問邊上的中線與的數量關系是什么？以下是他的研究過程：

特例驗證：（1）①如圖2，當為等邊三角形時，猜想與的數量關系為_______；②如圖3，當，時，則長為________．

猜想論證：（2）在圖1中，當為任意三角形時，猜想與的數量關系，并給予證明．

拓展應用：（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內部是否存在點，使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關系？若存在，請畫出點的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出的邊上的中線的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②4，（2）；理由見解析，（3）存在；

【解析】

（1）①首先證明是含有的直角三角形，可得，即可解決問題；②首先證明，根據直角三角形斜邊中線定理即可解決問題．

（2）與的數量關系為，如圖5，延長到，使，連接、，先證四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問題．

（3）存在，如圖6，延長交的延長線于，作于，做直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，先證明，，再證明，即可得出結論，再在中，根據勾股定理，即可求出的長．

（1）①如圖2，∵是等邊三角形，把繞點順時針旋轉得到，把繞點逆時針旋轉得到，

∴，

又∵是邊上的中線，∴，

∴，即，

∵，，

∴，

∴，

∴在中，，，

∴．

故答案為：．

②如圖3，∵，，

∴，即和為直角三角形，

∵把繞點順時針旋轉得到，把繞點逆時針旋轉得到，

∴，，

∴在和中，

∴，

∴，

∵是邊上的中線，為直角三角形，

∴，

又∵，

∴．

故答案為：．

（2），

如圖5，延長到，使，連接、，

圖5

∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴在和中，

∴，

∴，

∴．

（3）存在，

如圖6，延長交的延長線于，作于，作直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，

圖6

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，

∵，，，

∴，，，

在中，

∵，，，

∴，

∴，

∵，∴，

∵，∴，，

在中，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴與之間滿足小明探究的問題中的邊角關系，

在中，∵，，，

∴．