Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，若∠ADB是直角，求證：四邊形BFDE是菱形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：先證明BE與DF平行且相等，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根據菱形的判定可以得到四邊形是菱形．

詳證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵BE=AB，DF=CD，

∴BE=DF，

又∵AB∥CD，

∴BE∥DF，BE=DF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

連接EF，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴DF∥AE，DF=AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∴EF∥AD，

∵∠ADB是直角，

∴AD⊥BD，

∴EF⊥BD，

又∵四邊形BFDE是平行四邊形，

∴四邊形BFDE是菱形．