Question

【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,∠CAB=90°,P是△ABC內一點,且PA=1,PB=3,PC= .求:∠CPA的大小

Answer 1

【答案】∠CPA=135°

【解析】

由于△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，則把△APB繞A點逆時針旋轉90°可得到△AP′C，連PP′，根據旋轉的性質得到∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，得到△PAP′為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得P′P=PA=，∠APP′=45°，在△P′PC中，可得到PC2+P′P2=P′C2，根據勾股定理的逆定理得到△P′PC為直角三角形，∠CPP′=90°，利用∠CPA=∠CPP′+∠APP′進行計算即可．

∵△ABC為等腰直角三角形,AB=AC,

∴把△APB繞A點逆時針旋轉90°可得到△AP′C,連PP′，如圖，

∴∠P′AP=90°,P′A=PA=1,P′C=PB=3，

∴△PAP′為等腰直角三角形，

∴P′P=PA=,∠APP′=45°，

在△P′PC中,P′C=3,P′P=,PC=，

∵，

∴PC2+P′P2=P′C2，

∴△P′PC為直角三角形,∠CPP′=90°，

∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°.