Question

25、已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，可以說明：△ACN≌△MCB，從而得到結論：AN=BM．
現要求：
（1）將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉180°，使A點落在CB上．請對照原題圖在下圖中畫出符合要求的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）所得到的圖形中，結論“AN=BM”是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）在（1）所得到的圖形中，設MA的延長線與BN相交于D點，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并說明你的結論的正確性．

Answer 1

分析：（1）可以C為圓心以CA為半徑，畫弧交BC于A，然后分別以C，A為圓心，以CA長為半徑，畫弧在BC下方交于M連接CM，AM，三角形ACM就是所求的三角形．
（2）還成立，可通過證明三角形ACN和BCM來實現，這兩個三角形中，CN=BC，CA=CM，這兩組對應邊的夾角都等于60°，因此兩三角形全等，即可得出AN=BM．
（3）MA的延長線與BN相交于D點，那么對頂角DAB和CAM都應該是60°，∠NBC也是60°，那么三角形ABD是等邊三角形．∠DAB=∠NCB=60°，因此MD∥CN，∠MCB=∠NBC=60°，因此CM∥NB，因此四邊形CMDN就是個平行四邊形．

解答：證明：（1）如下圖．


（2）結論“AN=BM”還成立．
證明：∵CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，
∴△ACN≌△MCB．
∴AN=BM．

（3）△ABD是等邊三角形，四邊形MDNC是平行四邊形，
證明：∵∠DAB=∠MAC=60°，∠DBA=60°，
∴∠ADB=60°．
∴△ABD是等邊三角形，
∵∠ADB=∠AMC=60°，
∴ND∥CM，
∵∠ADB=∠BNC=60°
∴MD∥CN
∴四邊形MDNC是平行四邊形．

點評：本題中通過全等三角形得出角和線段相等是解題的關鍵．