Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C1：y＝ax2經(jīng)過(guò)(－1，1)

(1) C1的解析式為___________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為___________，對(duì)稱(chēng)軸為___________

(2) 如圖1，直線(xiàn)l：y＝kx＋2k－2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，過(guò)P的另一直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C1于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)PA＝AB時(shí)，求A點(diǎn)坐標(biāo)

(3) 如圖2，將C1向下平移h（h＞0）個(gè)單位至C2，M(－2，b)在C2圖象上，過(guò)M作設(shè)MD、ME分別交拋物線(xiàn)于D、E．若△MDE的內(nèi)心在直線(xiàn)y＝b上，求證：直線(xiàn)DE一定與過(guò)原點(diǎn)的某條定直線(xiàn)平行

Answer 1

【答案】 y＝x2 (0，0) y軸

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可求得a的值，則可求得拋物線(xiàn)解析式，可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸；
（2）由直線(xiàn)l解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由PA=AB和聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)解析式，可求得A的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)l∥x軸，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥l于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥l于G，設(shè)D（x1，x12-h）、E（x2，x22-h），由相似三角形的性質(zhì)可求得x1+x2=4，設(shè)直線(xiàn)DE解析式為y=kx+b，把D、E坐標(biāo)代入可求得k=x1+x2=4，可證得結(jié)論．

試題解析：

（1）∵拋物線(xiàn)C1：y=ax2經(jīng)過(guò)（-1，1），
∴a=1，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=x2，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），對(duì)稱(chēng)軸為y軸，
故答案為：y=x2；（0，0）；對(duì)稱(chēng)軸為y軸； y＝x2，(0，0)，y軸;

(2) 當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－2

∴P(－2，－2)

設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)

∵PA＝PB

∴－2＋x2＝2x1 ①

聯(lián)立，整理得x2－kx－2k＋2＝0

∴x1＋x2＝k ②，x1x2＝－2k＋2 ③

由①得， ，代入②③得，

∴A(， )、(， )

(3) 過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)l∥x軸，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥l于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥l于G

設(shè)D(x1，x12－h)、E(x2，x22－h)

∵△MDF∽△MEG

∴，得x1＋x2＝4

設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為y＝kx＋b

∴，得k＝x1＋x2＝4

∴直線(xiàn)DE一定與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)y＝4x平行.