Question

已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，且PA=PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）已知PA=2

3

，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OB，
∵OC=OB，AB=BP，
∴∠OCB=∠OBC，∠PAB=∠PBA，
∵AP為圓O的切線，
∴∠PAB=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠PBA+∠OBA=90°，即∠PBO=90°，
則BP為圓O的切線；

（2）設圓的半徑為r，則AC=2r，
在Rt△ABC中，AC=2r，BC=2，
根據勾股定理得：AB=

AC2-BC2

=2

r2-1

，
∵∠PAB=∠C，∠PBA=∠OBC，
∴△PAB∽△OCB，
∴

PA

OC

=

AB

BC

，即

2 3

r

=

2 r2-1

2

，
解得：r=2．
則圓的半徑為2．