Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求證：PA為⊙O的切線；
（2）若OB=5，OP=

25

3

，求AC的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形內角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半徑，
∴PA為⊙O的切線；

（2）由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=

25

3

，
∴在直角△APO中，根據勾股定理知PA=

PO2-OA2

=

20

3

，
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴

AB

PO

=

AC

PA

．
∴

10

25 3

=

AC

20 3

，
解得AC=8．即AC的長度為8．