Question

如圖，經過原點的兩條直線、分別與雙曲線相交于A、B、P、Q四點，其中A、P兩點在第一象限，設A點坐標為（3，1）．
（1）求值及點坐標；（4分）
（2）若P點坐標為（a，3），求a值及四邊形APBQ的面積；（4分）
（3）若P點坐標為（m，n），且，求P點坐標．（4分）

Answer 1

（1）k=3，B點坐標為（﹣3，﹣1）；
（2）a=1，四邊形APBQ的面積為16；
（3P點坐標為（1，3）．

解析試題分析：（1）根據分別蓮花山圖象上點的坐標特征得到k=3×1=3，再根據正比例函數圖象和反比例函數圖象的性質得到點A與點B關于原點對稱，則B點坐標為（﹣3，﹣1）；
（2）根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到a=1，即P點坐標為（1，3），再根據正比例函數圖象和反比例函數圖象的性質得到點P與點Q關于原點對稱，所以點Q的坐標為（﹣1，﹣3），由于OA=OB，OP=OQ，則根據平行四邊形的判定得到四邊形APBQ為平行四邊形，然后根據兩點間的距離公式計算出AB，PQ，可得到即AB=PQ，于是可判斷四邊形APBQ為矩形，再計算出PA和PB，然后計算矩形APBQ的面積；
（3）由于四邊形APBQ為平行四邊形，加上∠APB=90°，則可判斷四邊形APBQ為矩形，則OP=OA，根據兩點間的距離公式得到m²+n²=10，且mn=3，則利用完全平方公式得到（m+n）²﹣2mn=10，可得到m+n=4，根據根與系數的關系可把m、n看作方程x²﹣4x+3=0的兩根，然后解方程可得到滿足條件的P點坐標．
試題解析：（1）把A（3，1）代入y=得k=3×1=3，
∵經過原點的直線l₁與雙曲線y=（k≠0）相交于A、B、
∴點A與點B關于原點對稱，
∴B點坐標為（﹣3，﹣1）；
（2）把P（a，3）代入y=得3a=3，解得a=1，
∵P點坐標為（1，3），
∵經過原點的直線l₂與雙曲線y=（k≠0）相交于P、Q點，
∴點P與點Q關于原點對稱，
∴點Q的坐標為（﹣1，﹣3），
∵OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ為平行四邊形，
∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PA²=（1+1）²+（3+3）²=40，
∴AB=PQ，
∴四邊形APBQ為矩形，
∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3﹣1）²+（1﹣3）²=8，
∴PB=4，PQ=2，
∴四邊形APBQ的面積=PA•PB=2•4=16；
（3）∵四邊形APBQ為平行四邊形，
而∠APB=90°，
∴四邊形APBQ為矩形，
∴OP=OA，
∴m²+n²=3²+1²=10，
而mn=3，
∵（m+n）²﹣2mn=10，
∴（m+n）²=16，解得m+n=4或m+n=﹣4（舍去），
把m、n看作方程x²﹣4x+3=0的兩根，解得m=1，n=3或m=3，n=1（舍去），
∴P點坐標為（1，3）．
考點：反比例函數綜合題．