Question

【題目】已知二次函數(shù)（k＞0）．

（1）當(dāng)k=時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證：關(guān)于x的一元次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（3）如圖，該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，P是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且OP=1，直線AP交BC于點(diǎn)Q，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（1，）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）直接將k的值代入函數(shù)解析式，進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）利用根的判別式得出△=1，進(jìn)而得出答案；

（3）根據(jù)題意首先表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，以及表示出OA，AB的長(zhǎng)，再利用兩點(diǎn)之間距離求出AQ的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案．

試題解析：（1）將k=代入二次函數(shù)可求得，=，故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，）；

（2）∵一元次方程，∴△===1＞0，∴關(guān)于x的一元次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（3）由題意可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），則，（x﹣k﹣1）（x﹣k）=0，故A（k，0），B（k+1，0），當(dāng)x=0，則y=，故C（0，），則AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得：=，=，當(dāng)=，解得：x=，則代入原式可得：y=，則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，）．運(yùn)用距離公式得：==，則，=1，故===，則．