Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點E、F.

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AB=6，BC=8，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）由于知道了EF垂直平分AC，因此只要證出四邊形AFCE是平行四邊形即可得出AFCE是菱形的結論．
（2）根據勾股定理得出AC，進而利用勾股定理解答即可．

證明：（1）∵EF是對角線AC的垂直平分線，
∴AO=CO，AC⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形；
（2）∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= ，

∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=FC，
在Rt△ABF中，設AF=FC=x，則BF=8-x
∴AB2+BF2=AF2，
∴62+（8-x）2=x2，
∴x=，

∴OF ，

∴EF=2OF=.