Question

【題目】已知函數y＝mx2﹣（2m+1）x+2（m≠0），請判斷下列結論是否正確，并說明理由．

（1）當m＜0時，函數y＝mx2﹣（2m+1）x+2在x＞1時，y隨x的增大而減小；

（2）當m＞0時，函數y＝mx2﹣（2m+1）x+2圖象截x軸上的線段長度小于2．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）先確定拋物線的對稱軸為直線x＝1+，利用二次函數的性質得當m＞1+時，y隨x的增大而減小，從而可對（1）的結論進行判斷；

（2）設拋物線與x軸的兩交的橫坐標為x1、x2，則根據根與系數的關系得到x1+x2＝，x1x2＝，利用完全平方公式得到|x1﹣x2|＝＝＝|2﹣|，然后m取時可對（2）的結論進行判斷．

解：（1）的結論正確．理由如下：

拋物線的對稱軸為直線，

∵m＜0，

∴當m＞1+時，y隨x的增大而減小，

而1＞1+，

∴當m＜0時，函數y＝mx2﹣（2m+1）x+2在x＞1時，y隨x的增大而減小；

（2）的結論錯誤．理由如下：

設拋物線與x軸的兩交的橫坐標為x1、x2，則x1+x2＝，x1x2＝，

|x1﹣x2|＝

＝

＝

＝

＝|2﹣|，

而m＞0，

若m取時，|x1﹣x2|＝3，

∴當m＞0時，函數y＝mx2﹣(2m+1)x+2圖象截x軸上的線段長度小于2不正確．