Question

半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P. 已知BC∶CA=4∶3，點P在弧AB上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
小題1: 求證：△ABC∽△PQC；          
小題2: 當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長；
小題3: 當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長；
小題4:當點P運動到弧AB的中點時，求CQ的長．

Answer 1

小題1:∵AB為⊙O的直徑，         ∴∠ACB =90°．
在Rt△PCQ中，∠PCQ =" ∠ACB" ="90°, " ∵∠CPQ =∠CAB，
∴△ABC ∽△PQC
小題2:當點P運動到與點C關于AB對稱時，此時CP⊥直徑AB于D，
∴CP=2CD
∵AB="10, " BC∶CA=4∶3，      ∴BC =" 8," AC=6．
又∵AC?BC=AB?CD，       ∴CD="4.8" ．
∴CP="2CD=9.6 " ∵△ABC ∽△PQC  
∴=   
∴CQ=12.8
小題3:因為點P在⊙O上運動過程中，始終有△ABC ∽△PQC
所以PC最大時，CQ取到最大值．
∴當PC過圓心O，即PC取最大值 10時，CQ最大，最大為．
小題4:當點P運動到弧CP的中點時,如圖所示，過點B作BE⊥PC于點E，
∵P是弧AB的中點, ∠PCB="45°, " ∴在中，
∴CE=BE=4……7分  易證：△ABC ∽△PBE   ∴PE=3  ∴CP=7
∴CQ=7=

 略