Question

已知關于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有實數根，k為正整數．
（1）求k的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=2x²+4x+k-1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結合這個新的圖象回答：當直線y=

1

2

x+b（b＜k）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）綜合根的判別式及k的要求求出k的取值；
（2）對k的取值進行一一驗證，求出符合要求的k值，再結合拋物線平移的規律寫出其平移后的解析式；
（3）求出新拋物線與x軸的交點坐標，再分別求出直線y=

1

2

x+b經過點A、B時的b的取值，進而求出其取值范圍．本題第二問是難點，主要是不會借助計算淘汰不合題意的k值．

解答：解：（1）由題意得，△=16-8（k-1）≥0．
∴k≤3．
∵k為正整數，
∴k=1，2，3；

（2）設方程2x²+4x+k-1=0的兩根為x₁，x₂，則
x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

k-1

2

．
當k=1時，方程2x²+4x+k-1=0有一個根為零；
當k=2時，x₁•x₂=

1

2

，方程2x²+4x+k-1=0沒有兩個不同的非零整數根；
當k=3時，方程2x²+4x+k-1=0有兩個相同的非零實數根-1．
綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去，k=3符合題意．
當k=3時，二次函數為y=2x²+4x+2，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為y=2x²+4x-6；

（3）設二次函數y=2x²+4x-6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A（-3，0），B（1，0）．
依題意翻折后的圖象如圖所示．
當直線y=

1

2

x+b經過A點時，可得b=

3

2

；
當直線y=

1

2

x+b經過B點時，可得b=-

1

2

．
由圖象可知，符合題意的b（b＜3）的取值范圍為-

1

2

＜b＜

3

2

．

（3）依圖象得，要圖象y=

1

2

x+b（b小于k）與二次函數圖象有兩個公共點時，顯然有兩段．
而因式分解得y=2x²+4x-6=2（x-1）（x+3），
第一段，當y=

1

2

x+b過（1，0）時，有一個交點，此時b=-

1

2

．
當y=

1

2

x+b過（-3，0）時，有三個交點，此時b=

3

2

．而在此中間即為兩個交點，此時-

1

2

＜b＜

3

2

．
第二段，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折后，
開口向下的部分的函數解析式為y=-2（x-1）（x+3）． 顯然，
當y=

1

2

x+b與y=-2（x-1）（x+3）（-3＜x＜1）相切時，y=

1

2

x+b與這個二次函數圖象有三個交點，若直線再向上移，則只有兩個交點．
因為b＜3，而y=

1

2

x+b（b小于k，k=3），所以當b=3時，將y=

1

2

x+3代入二次函數y=-2（x-1）（x+3）整理得，
4x²+9x-6=0，△＞0，所以方程有兩根，那么肯定不將有直線與兩截結合的二次函數圖象相交只有兩個公共點．這種情況故舍去．
綜上，-

1

2

＜b＜

3

2

．

點評：考查知識點：一元二次方程根的判別式、二次函數及函數圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數的結合等問題．不錯的題目，難度不大，綜合性強，考查面廣，似乎是一個趨勢或熱點．