Question

【題目】（1）如圖1，為正方形的邊上一點，將正方形沿折疊,點落在點處，連接并延長，交于點，求證：；

（2）如圖2，點分別在邊上，且，求證：

（3）如圖3，點分別在邊上，點分別在邊上，交于點，已知，，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）MN=2 .

【解析】

(1) 連接AF，根據正方形的性質和折疊性質可證明Rt△AGF≌Rt△ADF（HL），從而求得結果DF=GF；（2）屬于半角型問題，延長CD至點K，使DK=BE，連接AK，再根據正方形的性質證明△ABE≌△ADK（SAS）和△AFE≌△AFK（SAS）即可解答，具體過程見詳解；（3）過點A作AE∥MN交BC于點E，作AF∥PQ交CD于點F，目的是平移MN、PQ到直角三角形中，在Rt△ADF中，AD=6，由勾股定理得DF=3，設BE=x，則CE=6-x，EF=3+x，

在△CEF中，由勾股定理得32+(6-x)2=(3+x)2，從而求解.

（1）連接AF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，

由折疊可知，∠AGF=∠AGE=∠ABC=90°，AG=AB=AD，

在Rt△AGF和Rt△ADF中

∵ ，

∴Rt△AGF≌Rt△ADF，

∴DF=GF；

（2）延長CD至點K，使DK=BE，連接AK，

在△ABE和△ADK中

∵ ，

∴△ABE≌△ADK，

∴AE=AK，∠EAB=∠KAD，

∴∠KAE=∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠KAF=45°=∠EAF，

在△AFE和△AFK中

∵ ，

∴△AFE≌△AFK，

∴EF=FK=FD+DK=FD+BE；

（3）過點A作AE∥MN交BC于點E，作AF∥PQ交CD于點F，

則∠EAF=∠MOQ=45°，

由（2）可知EF=BE+DF,

∵AN∥EM，AE∥MN，

∴四邊形AEMN為平行四邊形，

∴AE=MN，

同理AF=PQ=，

在Rt△ADF中，AD=6，由勾股定理得DF=3，

設BE=x，則CE=6-x，EF=3+x，

在△CEF中，由勾股定理得32+(6-x)2=(3+x)2，

解得，x=2，

再由勾股定理得MN=AE=.