Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內心，連接AE并延長交⊙O于D點，連接BD并延長至F，使得BDDF，連接CF、BE．

（1）求證：DBDE；

（2）求證：直線CF為⊙O的切線；

（3）若CF4，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）

【解析】分析：（1）欲證明DB=DE.，只要證明∠DBE=∠DEB；
（2）欲證明CF是⊙O的切線.，只要證明BC⊥CF即可；

根據S陰影部分S扇形S△OBD計算即可.

詳解：(1)證明：∵E是△ABC的內心，

∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，

∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE.

(2)連接CD.

∵DA平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAC，

∴BD=CD，

又∵BD=DF，

∴CD=DB=DF，

∴

∴BC⊥CF，

∴CF是⊙O的切線.

（3）連接OD.

∵O、D是BC、BF的中點，CF4， ∴OD2.

∵CF是⊙O的切線，

∴

∴△BOD為等腰直角三角形.

∴S陰影部分S扇形S△OBD .