Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在射線DB、DC、BC上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F＝（　　）

A. 30°B. 35°C. 15°D. 25°

Answer 1

【答案】C

【解析】

先由BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，則根據(jù)平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，兩式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠E=30°；再由BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代換得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再進(jìn)行等量代換可得到∠F=∠E．

解：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A＝60°，

∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A×（180°﹣60°）＝60°，

∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣60°＝300°，

∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，

∴∠5+∠6＝∠MBC，∠1＝∠NCB，

∴∠5+∠6+∠1＝（∠NCB+∠NCB）＝150°，

∴∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝180°﹣150°＝30°，

∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，

∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4，

∵∠3+∠4＝∠5+∠F，∠2+∠3+∠4＝∠5+∠6+∠E，

即∠2＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E，

∴2∠F＝∠E，

∴∠F＝∠E＝×30°＝15°．

故選：C．