Question

直線y=x-6與x軸、y軸分別交于點A、B，點E從B點，出發以每秒1個單位的速度沿線段BO向O點移動（與B、O點不重合），過E作EF∥AB，交x軸于F．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形DCEF，設點E的運動時間為t秒．
（1）①直線y=x-6與坐標軸交點坐標是A（______，______），B（______，______）；
②畫出t=2時，四邊形ABEF沿EF折疊后的圖形（不寫畫法）；
（2）若CD交y軸于H點，求證：四邊形DHEF為平行四邊形；并求t為何值時，四邊形DHEF為菱形（計算結果不需化簡）；
（3）設四邊形DCEF落在第一象限內的圖形面積為S，求S關于t的函數表達式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）①∵圖象與x軸相交y=0，與y軸相交，x=0，分別求出：
直線y=x-6與坐標軸交點坐標是：A（6，0），B（0，-6）；
②如圖1，四邊形DCEF即為四邊形ABEF沿EF折疊后的圖形；

（2）∵四邊形DCEF與四邊形ABEF關于直線EF對稱，
又AB∥EF，
∴CD∥EF．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°．
∵AB∥EF，
∴∠AFE=135°．
∴∠DFE=∠AFE=135°．
∴∠AFD=360°-2×135°=90°，即DF⊥x軸．
∴DF∥EH，
∴四邊形DHEF為平行四邊形．
要使四邊形DHEF為菱形，
只需EF=DF，
∵AB∥EF，∠FAB=∠EBA，
∴FA=EB．
∴DF=FA=EB=t．
又∵OE=OF=6-t，
∴EF=．
∴=t．
∴=12-6．
∴當t=12-6時，四邊形DHEF為菱形．

（3）分兩種情況討論：
①當0＜t≤3時，
四邊形DCEF落在第一象限內的圖形是△DFG，
∴S=．
∵S=，在t＞0時，S隨t增大而增大，
∴t=3時，S_最大=；
②當3＜t＜6時，
四邊形DCEF落在第一象限內的圖形是四邊形DHOF，
∴S_{四邊形DHOF}=S_△DGF-S_△HGO．
∴S=，
=，
=．
∵a=＜0，
∴S有最大值．
∴當t=4時，S_最大=6．
綜上所述，當t=4時，S最大值為6．
分析：（1）利用圖象與坐標軸交點求法，與x軸相交y=0，與y軸相交，x=0，分別求出即可；
（2）根據菱形的判定方法求出要使四邊形DHEF為菱形，只需EF=DF，利用DF=FA=EB=t，進而求出即可；
（3）分兩種情況討論：①當0＜t≤3時，四邊形DCEF落在第一象限內的圖形是△DFG，②當3＜t＜6時，
四邊形DCEF落在第一象限內的圖形是四邊形DHOF，分別求出即可．
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及二次函數的最值求法和菱形的判定，熟練利用自變量的取值范圍求出是解題關鍵．