Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)A，它的對稱軸x＝2與x軸交于點(diǎn)C，直線y＝2x＋1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(m，－3)，且與y軸、直線x＝2分別交于點(diǎn)D，E．

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式并用配方法把這個解析式化成y＝a(x－h(huán))²＋k的形式；

(2)求證：CD⊥BE；

(3)在對稱軸x＝2上是否存在點(diǎn)P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PAB的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵已知拋物線的對稱軸為， 　　∴設(shè)拋物線的解析式為， 　　又∵直線經(jīng)過點(diǎn)B()， 　　∴，解得，， 　　∴點(diǎn)B()， 　　又∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過0(0，0) 　　B()， 　　 　　解得， 　　∴拋物線的解析式為． 　　(2)由題意解方程組，得 　　∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，5)，∴CE＝5． 　　過點(diǎn)B作BF垂直于軸于F， 　　作BH垂直于直線于H，交軸于點(diǎn)Q， 　　∵點(diǎn)B()，D(0，1)， 　　∴BF＝3，BH＝4，CH＝BF＝3，OD＝1，EH＝8，DQ＝4． 　　在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC中 　　有勾股定理得BE＝，BD＝，BC＝ 　　∴BD＝BE 　　又∵EC＝5，∴BC＝CE，∴CD⊥BE． 　　(3)結(jié)論：存在點(diǎn)P，使△PBE是直角三角形． 　　①當(dāng)∠BPE＝90°時，點(diǎn)P與(2)中的點(diǎn)H重合， 　　∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為； 　　延長BH與過點(diǎn)A(4，0)且與軸垂直的直線交于M， 　　則 　　②當(dāng)∠EBP＝90°時，設(shè)點(diǎn)P(2，)， 　　∵E(2，5)，H(2，)，B()， 　　∴BH＝4，EH＝8，PH＝． 　　在Rt△PBE中，BH⊥PE， 　　可證得△BHP∽△EHB， 　　，即， 　　解得， 　　此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為． 　　過點(diǎn)P與軸平行的直線與FB的延長線交于點(diǎn)N， 　　則 　　綜合①，②知點(diǎn)P的坐標(biāo)為，△PAB的面積為6；或點(diǎn)P的坐標(biāo)為，△PAB的面積為12．