Question

【題目】如圖，拋物線經過原點，與軸的另一個交點為，將拋物線向右平移個單位得到拋物線， 交軸于， 兩點（點在點的左邊），交軸于點．

（）求拋物線的解析式及頂點坐標．

（）以為斜邊向上作等腰直角三角形，當點落在拋物線的對稱軸上時，求拋物線的解析式．

（）若拋物線的對稱軸存在點，使為等邊三角形，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，頂點坐標；

（2）拋物線的解析式為： ；

（3）．

【解析】試題分析：（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x2+bx+c，求出拋物線C1的解析式，即可求出拋物線C1的頂點坐標；

（2）先求出C2的解析式，確定A，B，C的坐標，過點C作CH⊥對稱軸DE，垂足為H，利用△PAC為等腰直角三角形，求出角的關系可證得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C2的解析式．

（3）連接BC，BP，由拋物線對稱性可知AP=BP，由△PAC為等邊三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三點在以點P為圓心，PA為半徑的圓上，可得BC=2OC，利用勾股定理求出OB=OC，列出方程求出m的值即可．

試題解析：解：（1）∵拋物線C1經過原點，與x軸的另一個交點為（2，0），∴ ，解得： ，∴拋物線C1的解析式為y=x2﹣2x，∴拋物線C1的頂點坐標（1，﹣1）；

（2）如圖1，∵拋物線C1向右平移m（m＞0）個單位得到拋物線C2，∴C2的解析式為y=（x﹣m﹣1）2﹣1，∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），過點C作CH⊥對稱軸DE，垂足為H，∵△ACD為等腰直角三角形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠CDH+∠ADE=90°，∴∠HCD=∠ADE，∵∠DEA=90°，∴△CHD≌△DEA，∴AE=HD=1，CH=DE=m+1，∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2，由OC=EH得m2+2m=m+2，解得m1=1，m2=﹣2（舍去），∴拋物線C2的解析式為：y=（x﹣2）2﹣1．

（3）如圖2，連接BC，BP，由拋物線對稱性可知AP=BP，∵△PAC為等邊三角形，∴AP=BP=CP，∠APC=60°，∴C，A，B三點在以點P為圓心，PA為半徑的圓上，∴∠CBO=∠CPA=30°，∴BC=2OC，∴由勾股定理得OB==OC，∴（m2+2m）=m+2，解得m1=，m2=﹣2（舍去），∴m=．