Question

【題目】已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D為線段CB上一點（不與C、B重合），點E為射線CA上一點，∠ADE=∠AED．設∠BAD=α，∠CDE=β．

（1）如圖（1），

①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，則α=　 ，β=　　 ．

②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，則α=　 ，β=　 ．

③寫出α與β的數量關系，并說明理由；

（2）如圖（2），當E點在CA的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出α與β的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①α=12°，β=6°；②α=18°，β=9°，③α=2β，理由見解析；（2）α=2β-180°

【解析】試題分析：（1）①先根據角的和與差求α的值，根據等腰三角形的兩個底角相等及頂角為30°得：∠ADE=∠AED=75°，同理可得：∠ACB=∠B=69°，根據外角性質列式：75°+β=69°+12°，可得β的度數；

②同理可求得：α=54°﹣36°=18°，β=9°；

③設∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°﹣y°，分別求出∠ADE和∠B，根據∠ADC=∠B+α列式，可得結論；

（2）α=2β﹣180°，理由是：如圖（2），設∠E=x°，則∠DAC=2x°，根據∠ADC=∠B+∠BAD，列式可得結論．

解：（1）①∵∠DAE=30°，

∴∠ADE+∠AED=150°，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∵∠BAC=42°，

∴α=42°﹣30°=12°，

∴∠ACB=∠B==69°，

∵∠ADC=∠B+α，

∴75°+β=69°+12°，

β=6°；

故答案為：12°，6°；

②∵∠DAE=36°，

∴∠ADE+∠AED=144°，

∴∠ADE=∠AED=72°，

∵∠BAC=54°，

∴α=54°﹣36°=18°，

∴∠ACB=∠B==63°，

∵∠ADC=∠B+α，

∴72°+β=63°+18°，

β=9°；

故答案為：18°，9°；

③α=2β，理由是：

如圖（1），設∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°﹣y°，

∵∠ACB=∠ABC，

∴∠ACB=，

∵∠ADE=∠AED，

∴∠AED=，

∴β+∠ADE=α+∠ABC，

β+=α+，

∴α=2β；

（2）α=2β﹣180°，理由是：

如圖（2），設∠E=x°，則∠DAC=2x°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，

∴∠B=∠ACB=，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，

∴β﹣x°=+α，

∴α=2β﹣180°．