Question

【題目】定義：如圖，把經過拋物線 (，， ，為常數)與軸的交點和頂點的直線稱為拋物線的“伴線”，若拋物線與軸交于，兩點(在的右側)，經過點和點的直線稱為拋物線的“標線”．

(1)已知拋物線，求伴線的解析式．

(2)若伴線為，標線為，

①求拋物線的解析式；

②設為“標線”上一動點，過作平行于“伴線”，交“標線”上方的拋物線于，求線段長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②時，有最大值

【解析】

（1）先根據拋物線解析式及其圖象求出A、B、C、M的坐標，再根據“伴線”是過拋物線 (，， ，為常數)與軸的交點和頂點的直線，可設“伴線”為，再把點C、M代入即可求解；

（2）①根據“伴線”解析式求出點C坐標，進而求出“標線”解析式和點B坐標，將點B、C代入拋物線解析式可得原拋物線的頂點式：，繼而得拋物線的頂點坐標，再將拋物線頂點坐標代入伴線解析式，解方程求得a的值，繼而求得拋物線解析式；

②設點，根據平行于“伴線”，可設的直線解析式為，與拋物線聯立可得Q點坐標，根據兩點間距離公式可得PQ的長度為關于m的二次函數，根據二次函數的性質求出最大值即為PQ的最大值．

(1) ∵

令,則，解得：，

∴，，

令，則，

∴，

∵

將代入拋物線解析式可得

∴頂點，

設伴線為，把點，代入得：

解得：

∴伴線的解析式為：；

(2)①伴線為，

令x＝0，則y＝﹣3，

∴，

∵標線為，則，

∴，

∴標線解析式為：，

令y＝0，則x＝3，

∴，

將點，代入，

∴，，

∴，

∴拋物線頂點，

∴將點M代入伴線，得：，

整理得：，

解得：或（當時，，故舍去），

∴拋物線解析式為：；

②設點，

∵平行于“伴線”，

∴的直線解析式為，

與拋物線的交點，

∴，

∴，

∵，

∴當，即時，有最大值