Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF相交于點O，下列結論：

①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④△COD的面積等于四邊形BEOF的面積，正確的有 （　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：

由已知條件證△EBC≌△FCD，從而可得∠BCE=∠FDC，結合∠BCE+∠OCD=90°可得∠FDC+∠OCD=90°，由此可得∠DOC=90°，即可得到結論①正確；再證∠OCD=∠DFC可推導得到結論③正確；由△EBC≌△FCD推導可得結論④正確；連接DE，假設結論②成立可推導得到DE=DC=DA，這與DE>DA矛盾，從而說明結論②錯誤；

詳解：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠B=∠BCD=90°，

∵AE=BF=1，

∴AB-AE=BC-BF=4-1=3，即BE=CF=3，

∴△EBC≌△FCD，tan∠DFC=，

∴∠BCE=∠FDC，

∵∠BCE+∠OCD=90°，

∴∠FDC+∠OCD=90°，

∴∠DOC=180°-90°=90°，即結論①正確；

∴∠FOC=90°，

∴∠OFC+∠OCF=90°，

∵∠OCF+∠OCD=90°，

∴∠OCD=∠OCF，

∴tan∠OCD= tan∠DFC=，即結論③正確；

∵△EBC≌△FCD，

∴S△EBC-S△FOC=S△FCD-S△FOC，

∴S四邊形BEOF=S△OCD，即結論④正確；

如下圖，連接DE，假設②OC=OE成立 ，

∵∠DOC=90°，

∴DF垂直平分AC，

∴DE=DC，

∵DC=DA，

∴DE=DA，而這與Rt△ADE中，直角邊AD小于斜邊DE矛盾，

∴結論②錯誤，

綜上所述，正確的結論是①③④共3個.

故選C.