Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=-x²+bx+3的圖象經過點A（-1，0），頂點為B．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）若點C的坐標為（4，0），連接BC，過點A作AE⊥BC，垂足為點E．當點D在直線AE上，且滿足DE=1時，求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）將A點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值，由此可確定拋物線的解析式；
（2）可過B作BF⊥x軸于F，根據拋物線的解析式可求出B點的坐標，進而可求出BF、CF、BC的長，即可得到∠BCF即∠ACE的正弦值，進而可在Rt△ACE中，根據AC的長求出AE、CE的值；易證得△ADH∽△BCF，可設出點D的坐標，進而可表示出AH、DH的長，根據相似三角形得到的比例線段即可求出點D的坐標．（需要注意的是點D的位置有兩種情況：①點D在線段AE上，②點D在AE的延長線上；要分類討論．）

解答：解：（1）∵二次函數y=-x²+bx+3的圖象經過點A（-1，0），
∴0=-1-b+3，得b=2，（1分）
∴二次函數的解析式為y=-x²+2x+3；（2分）

（2）由（1）得這個二次函數圖象頂點B的坐標為（1，4）；（3分）
如圖所示，過點B作BF⊥x軸，垂足為點F；
在Rt△BCF中，BF=4，CF=OC-OF=3，由勾股定理，得BC=5，
∴sin∠BCF=

4

5

；
∵AE⊥BC，垂足為點E，
∴∠AEC=90°；
在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

，
又AC=5，
可得

AE

5

=

4

5

，
∴AE=4，由勾股定理得CE=3；
過點D作DH⊥x軸，垂足為點H；
由題意知，點H在y軸的右側，易證△ADH∽△ACE；
設點D的坐標為（x，y），則AH=x+1，DH=y，（4分）
①若點D在AE的延長線上，則AD=5；
得

x+1

4

=

y

3

=

5

5

，
∴x=3，y=3，
所以點D的坐標為（3，3）；（6分）
②若點D在線段AE上，則AD=3；
得

x+1

4

=

y

3

=

3

5

，
∴x=

7

5

，y=

9

5

，
所以點D的坐標為（

7

5

，

9

5

）；
綜上所述，點D的坐標為（3，3）或（

7

5

，

9

5

）．

點評：此題是二次函數的綜合類試題，涉及到二次函數解析式的確定、解直角三角形、相似三角形的判定和性質等重要知識點，同時還考查了分類討論的數學思想，難度較大．