Question

【題目】如圖，是的直徑，為上一點，點是半徑上一動點（不與，重合），過點作射線，分別交弦，于，兩點，在射線上取點，使．

（1）求證：是的切線．

（2）當是的中點時；

①若，求證：以，，，為頂點的四邊形是菱形；

②若，且，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②5

【解析】

（1）如圖1，連接OC．則OC=OB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)等邊對等角可得：∠OBC=∠OCB．再由垂直的定義可得∠BPD=90°．又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠OBC+∠BDP=90°．由FC=FD可得∠FCD=∠FDC．又因為∠FDC=∠BDP，所以

∠OCB+∠FCD=90°，從而可證明．

（2）①如圖2，連接OE，BE，CE．先由已知條件證出△BOE，△OCE均為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三條邊相等可證得：OB=BE=CE=OC，從而根據(jù)四條邊相等的四邊形是菱形可證得結果．

②構造直角三角形，利用三角函數(shù)和勾股定理求即可.

（1）證明：如圖1，連接OC．

∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．

∵PF⊥AB，∴∠BPD=90°．∴∠OBC+∠BDP=90°．

∵FC=FD，∴∠FCD=∠FDC．

又∵∠FDC=∠BDP，

∴∠OCB+∠FCD=90°，即∠OCF=90°．

∴FC是⊙O的切線．

圖1

（2）①證明：如圖2，連接OE，BE，CE．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．

∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°．

∵E是的中點，即，

∴∠BOE=∠COE=60°．

又∵OB=OE=OC，∴△BOE，△OCE均為等邊三角形．

∴OB=BE=CE=OC．∴四邊形BOCE是菱形．

②解：如圖2，記OE與BC的交點為H．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．

∴在Rt△ABC中，tan∠ABC==．

設AC=3k，BC=4k（k＞0）．

∵AC2+BC2=AB2，

∴(3k)2+(4k)2=202，解得k=4．

∴AC=12，BC=16．

∵E是的中點，OE是⊙O的半徑，

∴OE⊥BC，BH=CH=BC=8．

∵S△BOE=OE·BH=OB·PE，OE=OB=AB=10，

∴PE===8．

在Rt△OPE中，OP===6．

∴BP=OB-OP=10-6=4．

在Rt△BPD中，=tan∠ABC=，∴DP=BP=×4=3．

∴DE=PE-DP=8-3=5．

圖2

【點晴】

本題是圓的綜合題，難度較大，靈活運用知識作出合理的輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.