Question

【題目】小明在學習“圓的對稱性”時知道結論：垂直于弦的直徑一定平分這條弦，請嘗試解決問題：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，圓O是△ACB的外接圓．點D是圓O上一點，過點D作DE⊥BC，垂足為E，且BD平分∠ABE，

（1）判斷直線ED與圓O的位置關系，并說明理由．

（2）若AC＝12，BC＝5，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）直線ED與⊙O相切，見解析；（2）4

【解析】

（1）直線ED與⊙O相切．連接OD．根據圓的性質和等邊對等角可得∠ODB＝∠OBD，等量代換得到∠ODB＝∠DBE，根據平行線的判定和性質得到∠DEC＝∠ODE＝90°，再根據垂直的定義和性質可得OD⊥DE，根據切線的判定即可求解；

（2）如圖，延長DO交AC于點H，連結CO，構建直角△ABC的中位線OH，運用三角形中位線定理和勾股定理分別求得OH＝HO＝BC＝、AB＝13，結合圖形找到相關線段間的和差關系求得線段BE的長度即可．

（1）如圖，連接OD．

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD，

又∵∠OBD＝∠DBE，

∴∠ODB＝∠DBE，

∴OD∥BE，

又∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

又∵OD為半徑，

∴直線ED與⊙O相切；

（2）如圖，延長DO交AC于點H，連結CO，

∵OD∥BE，∠ODE＝90°，

∴∠OHC＝90°，即OH⊥AC，

又∵OA＝OC，

∴AH＝CH，又由O是AB的中點，

∴HO是△ABC的中位線，

∴HO＝BC＝．

∵AC為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝12，BC＝5，

∴AB＝＝＝13，

∴OA＝OD＝AB＝．

∴HD＝HO+OD＝9

由四邊形CEDH是矩形，

∴CE＝HD＝9，

∴CE＝9，

∴BE＝CE﹣BC＝4．