Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為2，點C是優弧AB上的一動點，BD⊥BC交直線AC于點D，當點C從△ABC面積最大時運動到BC最長時，點D所經過的路徑長為_____．

Answer 1

【答案】π

【解析】

如圖，以AB為邊向上作等邊三角形△ABF，連接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．說明點D的運動軌跡是以F為圓心，FA為半徑的圓，再利用弧長公式求解即可．

如圖，以AB為邊向上作等邊三角形△ABF，連接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．

∵FA=FB，OA=OB，

∴OF⊥AB，AH=BH=，

∴sin∠BOH=，

∴∠BOH=∠AOH=60°，

∴∠AOB=120°

∴∠C=∠AOB=60°，

∵DB⊥BC，

∴∠DBC=90°，

∴∠CDB=30°，

∵∠AFB=60°，

∴∠ADB=∠AFB，

∴點D的運動軌跡是以F為圓心，FA為半徑的圓，

∵當點C從△ABC面積最大時運動到BC最長時，BC繞點B順時針旋轉了30°，

∴BD繞點B也旋轉了30°，

∴點D的軌跡所對的圓心角為60°，

∴運動路徑的長，

故答案為：．