Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，∠DAB被對角線AC平分，且AC2=ABAD．我們稱該四邊形為“可分四邊形”，∠DAB稱為“可分角”．

（1）如圖2，在四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求證：四邊形ABCD為“可分四邊形”；
（2）如圖3，四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，如果∠DCB=∠DAB，則求∠DAB的度數；
（3）現有四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且AC=4，則△DAB的最大面積等于 ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB=30°，

∴∠D+∠ACD=180°﹣30°=150°，

∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，

∴∠D=∠ACB，

∴△ADC∽△ACB．

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ABAD，

∴四邊形ABCD為“可分四邊形”

（2）

解：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∵AC2=ABAD，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠ACB，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=2∠DAC，

∵∠DAC+∠D+∠ACB=180°，

∴∠DAC+2∠DAC=180°，

解得：∠DAC=60°，

∴∠DAB=120°

（3）8
【解析】（3）∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，AC=4，
∴ABAD=AC2=16，
當DA⊥DB時，△DAB的最大，最大面積為8，
故答案為：8．
（1）由已知得出∠DAC=∠CAB=30°，由三角形內角和定理得出∠D+∠ACD=150°，由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，得出∠D=∠ACB，證明△ADC∽△ACB．得出對應邊成比例，得出AC2=ABAD，即可得出結論；（2）由已知條件可證得△ADC∽△ACB，得出D=∠ACB，再由已知條件和三角形內角和定理得出∠DAC+2∠DAC=180°，求出∠DA=60°，即可得出∠DAB的度數；（3）根據“可分四邊形”的定義求出ABAD，計算即可．