Question

【題目】如圖，四邊形ABCD，，，連接BD．

（1）如圖1，求證DB平分；

（2）如圖2，連接AC，若，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長AD交BC的延長線于F，點E在邊AB上，，連CE交BD于G，當，時，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）7

【解析】

（1）過B作BE⊥AD于E，過B作BF⊥DC于F．根據四邊形內角和為360°得到∠A+∠DCB=180°．再根據同角的補角相等得到∠A=∠FCB．即可證明△AEB≌△CFB，得到BE=BF，根據到角兩邊距離相等的點在角平分線上即可得到結論；

（2）如圖2中，在BD截取DE=AD，連接AE，首先證明△ADE是等邊三角形，只要證明△DAC≌△EAB（SAS），即可解決問題；

（3）如圖3中，作EN∥DC交BD于N，在DF上截取DM=DC．想辦法證明△CFM≌△EBN（AAS），△DGC≌△NGE（AAS），即可解決問題．

（1）如圖1．過B作BE⊥AD于E，過B作BF⊥DC于F．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠A+∠DCB=180°．

∵∠DCB+∠FCB=180°，∴∠A=∠FCB．

∵BE⊥AD，BF⊥DC，∴∠AEB=∠CFB=90°．

在△AEB和△CFB中，∵∠A=∠FCB，∠AEB=∠CFB=90°，AB=CB，

∴△AEB≌△CFB，

∴BE=BF．

∵BE⊥AD，BF⊥DC，BE=BF，∴DB平分∠ADC；

（2）如圖2中，在BD截取DE=AD，連接AE，

∵AB=CB，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ADC=120°．

由（1）得：DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°．

∵DE=AD，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE=AE．

∵∠DAE=∠CAB=60°，∴∠DAC=∠BAE，

在△DAC與△EAB中，∵，

∴△DAC≌△EAB（SAS），∴DC=BE．

∵BD=BE+DE，∴BD=AD+CD，

即BD﹣CD=AD．

（3）作EN∥DC交BD于N，在DF上截取DM=DC．

∵∠ADC=120°，∴∠CDM=60°．

∵DM=DC，∴△DMC是等邊三角形，

∴CM=CD=DM，∠DMC=60°，∴∠FMC=120°．

∵CD∥EN，∴∠CDG=∠ENG=60°，

∴∠ENB=120°，∴∠CMF=∠ENB．

∵∠F+∠FBD=∠ADB=60°，∠FBD+∠EBN=60°，

∴∠F=∠EBN．

在△CFM和△EBN中，∵∠CMF=∠ENB，∠F=∠EBN，CF=BE，

∴△CFM≌△EBN（AAS），∴FM=BN，EN=CM=CD．

∵EN∥CD，∴∠CDG=∠GNE．

∵∠DGC=∠EGN，∴△DGC≌△NGE（AAS），

∴DG=GN=3，∴2BD=AF﹣FM+DN+BN=8+6=14，∴BD=7．