Question

【題目】若一條直線把一個平面圖形分成面積相等的兩部分，那么這條直線叫做該平面圖形的“和諧線”，其“和諧線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“和諧線段”（例如圓的直徑就是圓的“和諧線段”）

問題探究：

（1）如圖①，已知△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，請寫出△ABC的兩條“和諧線段”的長．

（2）如圖②，平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，請直接寫出該平行四邊形ABCD的“和諧線段”長的最大值和最小值；

問題解決

（3）如圖③，四邊形ABCD是某市規劃中的商業區示意圖，其中AB＝2，CD＝10，∠A＝135°，∠B＝90°，tanC＝，現計劃在商業區內修一條筆直的單行道MN（小道的寬度不計），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN為四邊形ABCD“和諧線段”，在道路一側△MNC區域規劃為公園，為了美觀要求△MNC是以CM為腰的等腰三角形，請通過計算說明設計師的想法能否實現？若可以，請確定點M的位置（即求CM的長）．

Answer 1

【答案】（1）BD＝5，AE＝2，CF＝；（2）最小值為3，最大值為2；（3）可以，CM的值為

【解析】

（1）作△ABC的中線AE，BD，CF．線段AE，BD，CF都是△ABC的和諧線段．
（2）作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，連接AC，BD交于點O．經過點O的直線都是平行四邊形ABCD的“和諧線”．求出平行四邊形對邊之間的距離，對角線的從即可判斷．
（3）構造直角三角形，求出四邊形ABCD的面積，分兩種情形分別求解即可．

（1）作△ABC的中線AE，BD，CF．線段AE，BD，CF都是△ABC的和諧線段．

在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，

∴AC＝＝10，

∴BD＝AC＝5，AE＝＝2，CF＝＝．

（2）作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，連接AC，BD交于點O．經過點O的中線都是平行四邊形ABCD的“和諧線”．

在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，∠ABE＝60°，

∴AE＝ABsin60°＝3，

同法可求：CF＝4，

∴平行四邊形ABCD的“和諧線段”長的最小值為3，

作DH⊥BC交BC的延長線于H．易知CH＝BE＝3，

在Rt△BDH中，BD＝＝＝2，

在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，

∴平行四邊形ABCD的“和諧線段”長的最大值為2．

（3）如圖③﹣1中，作DE⊥BC于E，AF⊥DE于F．

在Rt△CDE中，∵CD＝10，tanC＝，

∴DE＝6，EC＝8，

∵四邊形ABEF是矩形，

∴AB＝EF＝2，

∴DF＝4，

∵∠DAB＝135°，∠BAF＝90°，

∴∠DAF＝45°，

∴AF＝BE＝DF＝4，

∴BC＝4+8＝12，

∴S四邊形ABCD＝（2+6）×4+×6×8＝40，

如圖③﹣2中，當CM＝CN時，設CM＝CN＝x．

∵tanC＝＝，

∴NH＝x，

∵S△MNC＝20，

∴xx＝20，

∴x＝或﹣（舍棄）．

如圖③﹣3中，當CM＝MN時，設CM＝MN＝x．作MH⊥CN于H．

∵MC＝MN，MH⊥CN，

∴CH＝HN，

∵tanC＝＝，

∴MH＝x，CH＝x，

∴CN＝x，

∴xx＝20，

∴x＝或（﹣）

此時CN＞10，不符合題意舍棄，

綜上所述，滿足條件的CM的值為．