Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓與AB邊相切于點D，與AC、BC邊分別交于點E、F、G，連接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．

（1）求證：AE是 O的切線；

（2）求圖中兩部分陰影面積的和．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由AB為圓O的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用銳角三角函數定義，根據tan∠BOD及BD的值，求出OD的值；連接OE，由AE=OD=3，且OD與AE平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行，再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直，即可得證；

（2）陰影部分的面積由三角形BOD的面積+三角形ECO的面積-扇形DOF的面積-扇形EOG的面積，求出即可．

（1）∵AB與圓O相切，

∴OD⊥AB，

在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=，

∴OD=3；

連接OE.

∵AB與圓O相切，

∴OD⊥AB.

∵在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=BDOD=23，

∴OD=3.

∵∠A=90°，OD⊥AB，

∴AE∥OD.

∵OD=AE=3，AE∥OD，

∴四邊形AEOD為平行四邊形，

∴AD∥EO.

∵DA⊥AE，

∴OE⊥AC.

又∵OE為圓的半徑，

∴AC為圓O的切線.

（2）∵OD∥AC，

∴BD/BA=OD/CA，即=，

∴AC=7.5，

∴EC=AC-AE=7.5-3=4.5，

∴S陰影=S△BDO+S△OEC-(S扇形FOD+S扇形EOG)

=×2×3+×3×4.5-=3+-=.