Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=120°，⊙O是△ABC的外接圓，點P是上的一個動點．

（1）求∠AOC的度數；

（2）若⊙O的半徑為2，設點P到直線AC的距離為x，圖中陰影部分的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．\

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）y=﹣+x（0≤x≤3）

【解析】

（1）先根據圓內接四邊形的性質求出∠P的度數，再由圓周角定理即可得出結論；
（2）過點O作OH⊥AC于H，根據銳角三角函數的定義得出AH及OH的長，進而得出AC的長，用x表示出△APC的面積，再根據y=S扇形AOC-S△AOC+S△APC即可得出結論．

解：（1）∵∠ABC=120°，四邊形ABCP是圓內接四邊形，

∴∠P=180°﹣120°=60°，

∴∠AOC=2∠APC=120°；

（2）過點O作OH⊥AC于H，

∵∠AOC=120°，OC=OA=2，

∴∠OAC=30°，

∴AH=OAcos30°=2×=，OH=OA=1，

∴AC=2AH=2，

∴S△APC=ACx=x，

∴y=S扇形AOC﹣S△AOC+S△APC=﹣×2×1+x=﹣+x（0≤x≤3）．