Question

如圖，已知△ABC中，∠C=∠ABC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，DE⊥AC，垂足為E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如果BC=10，CE=4，求直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或平行線的性質(zhì)易得OD⊥DE，故DE與⊙O相切．
（2）本題方法較多，需連接AD，分析圖形，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)的定義求出AB的值即可．

解答：解：
（1）方法一：DE與⊙O相切；（1分）
理由：連接OD，（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠BDO=∠C；
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，（4分）
∴∠EDO=180°-（∠BDO+∠CDE）=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．（5分）
方法二：DE與⊙O相切；（1分）
理由：連接OD；（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC，（4分）
∴∠EDO=∠CED；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．（5分）

（2）方法一：連接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°；
∴AD⊥BC；（7分）
∴BD=CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°；
在Rt△CDE中，cosC=

CE

CD

，
在Rt△ACD中，cosC=

CD

AC

，
∴

CE

CD

=

CD

AC

，（9分）
即

4

5

=

5

AC

；
∴AC=

25

4

，
∴AB=

25

4

．（10分）

方法二：連接AD．（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，（7分）
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=5．（8分）
在Rt△CDE中，cosC=

CE

CD

，
在Rt△ADB中，cos∠ABD=

BD

AB

，
又∵∠C=∠ABC，
∴

CE

CD

=

BD

AB

，
即

4

5

=

5

AB

；（9分）
∴AB=

25

4

．（10分）

方法三：連接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CDA；
又∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDA，（9分）
∴

CE

CD

=

CD

CA

，即

4

5

=

5

CA

，
∴CA=

25

4

；
∴AB=

25

4

．（10分）

方法四：連接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴BD=CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ADB；
又∵∠C=∠ABC，
∴△CED∽△BDA，（9分）
∴

CE

BD

=

CD

AB

，
即

4

5

=

5

AB

，
∴AB=

25

4

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．要注意連接過(guò)切點(diǎn)的半徑與構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是圓中的常見(jiàn)輔助線．