Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x、y軸交于A、B兩點，將直線AB沿著y軸翻折，交x軸負半軸于點C．

（1）求直線BC的函數關系式；

（2）點P（0，t）在y軸負半軸上，Q為線段BC上一動點（不與B、C重合）．連接PA、PQ，PQ＝PA

①若點Q為BC中點，求t的值；

②用t的代數式表示點Q的坐標和直線PQ的函數關系式；

③若M（2m，n－8），N（t3＋2t2－2m，n）在直線PQ上，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①t＝－3，②，③－6＜t＜0，≤n＜70

【解析】

（1）根據題意求出A，B的坐標，從而可得出C點的坐標，用待定系數法即可得出解析式；

（2）①首先根據Q為BC中點，得出Q的坐標，然后過Q點作QE⊥y軸，可得QE=3，EP=3-t，OP=|t|，OA=6，然后根據PQ=PA和勾股定理，可得=，求解即可；

②設Q（a，a＋6），由題意得：，解出方程求出Q的坐標為（t，t＋6），然后利用待定系數法求出解析式即可；

③將M（2m，n－8），N（t3＋2t2－2m，n）代入PQ的函數關系式得，然后消去m得n=3t2+7t+4，在根據t的取值范圍即可推出，n的取值范圍．

（1）∵直線分別與x、y軸交于A、B兩點，

∴可得A（6，0），B（0，6），

∵點C和點A關于x軸對稱，

∴C（-6，0），

設BC的解析式為y=kx+b，

將B，C兩點代入得，

解得：k=1，b=6，

∴BC的解析式為：；

（2）①∵Q為BC中點，

∴Q的坐標為（-3，3），

過Q點作QE⊥y軸，

∴E的坐標為（0，3），

∴QE=3，EP=3-t，OP=|t|，OA=6，

∵PQ=PA，

∴=，

即=，

解得t＝－3；

②設Q（a，a＋6），

由題意得：，

解得，（舍），

∴Q（t，t＋6），

設直線PQ函數關系式為y=kx+b，

將Q，P代入得，

解得，

∴直線PQ函數關系式為；

③∵點M（2m，n－8），N（t3＋2t2－2m，n）在直線PQ上，

由②可得PQ函數關系式為，

∴，

消去m得n=3t2+7t+4，

∵Q為線段BC上一動點（不與B、C重合），

∴-6＜t＜0，

∵n=3t2+7t+4，

∴對稱軸為t=，

∴n的最小值為：n=3×-7×+4=，

當t=-6時，n=3×36-7×6+4=70，

當t=0時，n=4，

∴n的取值范圍是：≤n＜70．