Question

【題目】如圖，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，點P在射線OC上．點E在射線OA上，點F在射線OB上，且∠EPF＝90°．

（1）如圖1，求證：PE＝PF；

（2）如圖2，作點F關于直線EP的對稱點F′，過F′點作FH⊥OF于H，連接EF′，F′H與EP交于點M．連接FM，圖中與∠EFM相等的角共有　 　個．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4.

【解析】

（1）過P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，判定△PEH≌△PFG（AAS），即可得出PE＝PF；

（2）依據軸對稱的性質以及等腰直角三角形的性質，即可得到與∠EFM相等的角．

解：（1）如圖1，過P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，則∠PGF＝∠PHE＝90°，

∵OC平分∠AOB，PG⊥OB，PH⊥AO，

∴PH＝PG，

∵∠AOB＝∠EPF＝90°，

∴∠PFG+∠PEO＝180°，

又∵∠PEH+∠PEO＝180°，

∴∠PEH＝∠PFG，

∴△PEH≌△PFG（AAS），

∴PE＝PF；

（2）由軸對稱可得，∠EFM＝∠EF′M，

∵F′H⊥OF，AO⊥OB，

∴AO∥F′F，

∴∠EF′M＝∠AEF′，

∵∠AEF′+∠OEF＝∠OFE+∠OEF＝90°，

∴∠AEF′＝∠OFE，

由題可得，P是FF′的中點，EF＝EF′，

∴EP平分∠FEF′，

∵PE＝PF，∠EPF＝90°，

∴∠PEF＝45°＝∠PEF′，

又∵∠AOP＝∠AOB＝45°，且∠AEP＝∠AOP+∠OPE，

∴∠AEF′+45°＝45°+∠OPE，

∴∠AEF′＝∠OPE，

∴與∠EFM相等的角有4個：∠EF′M，∠AEF′，∠EFO，∠EPO．

故答案為：4．