Question

如圖，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=

3

，在BC邊的延長線上取一點D，使CD=3．
（1）現有一動點P由A沿AB移動，設AP=t，S_△PCD=S，求S與t之間的關系式及自變量t的取值范圍．
（2）在（1）的條件下，當t=

1

3

時，過點C作CH⊥PD于H，設K=7CH：9PD．求證：關于x的二次函數y=-x2-(10k-

3

)x+2k的圖象與x軸的兩個交點關于原點對稱．
（3）在（1）的條件下，是否存在正實數t，使PD邊上的高CH=

1

2

CD？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）過點P作PF⊥BD于點F．
∵AB=BC=2，高BE=

3

，
∴由銳角三角函數，得∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPF=30°．
∵AP=t，
∴PB=2-t，
∴PF=

3

2

（2-t），
∴S=

1

2

×3×

3

2

（2-t），
=-

3 3

4

t+

3 3

2

（0≤t≤2）；

（2）證明：∵t=

1

3

，
∴PB=2-

1

3

=

5

3

，
∴PB=

5

6

，PF=

5 3

6

，CF=

7

6

，
∴DF=3+

7

6

=

25

6

，
在Rt△PFD中由勾股定理得
DP=

( 5 6 3 )2+( 25 6 )2

，
=

10 7

6

，
在△PCD中

1

2

×

5 3

6

×3=

1

2

×

10 7

6

CH，
解得CH=

3 21

14

，
K=

3 21 14 ×7

10 7 6 ×9

=

3

10

，
∴y=-x2-(10×

3

10

-

3

)x+2×

3

10

，
y=-x2+

3

5

，
當y=0時，解得x=±

5 3

5

，
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為：(

5 3

5

，0)或(-

5 3

5

，0)，
∴原二次函數的圖象與x軸的交點關于原點對稱；

（3）不存在正實數P．
∵CH⊥DP，且CH=

1

2

CD
∴∠D=30°
∴DP=2PF=（2-t）

3

，DF=2-

2-t

2

+3=

t+8

2

由勾股定理得
[(2-t)

3

]2=(

t+8

2

)2+(

(2-t) 3

2

)2
解得t₁=7不符合題意應舍去．
t₂=-

1

2

不符合題意應舍去．
∴當CH=1.5時，求出的t的值不滿足題意要求．