Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B，與y軸交于C，拋物線的頂點為D，直線l過C交x軸于E（4，0）．

（1）寫出D的坐標和直線l的解析式；
（2）P（x，y）是線段BD上的動點（不與B，D重合），PF⊥x軸于F，設四邊形OFPC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求S的最大值；
（3）點Q在x軸的正半軸上運動，過Q作y軸的平行線，交直線l于M，交拋物線于N，連接CN，將△CMN沿CN翻轉，M的對應點為M′．在圖2中探究：是否存在點Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4），

當x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），

設直線l的解析式為y=kx+b，

把C（0，3），E（4，0）分別代入得，解得，

∴直線l的解析式為y=x+3；

（2）

如圖（1），當y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則B（3，0），

設直線BD的解析式為y=mx+n，

把B（3，0），D（1，4）分別代入得，解得，

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6，

則P（x，﹣2x+6），

∴S=（﹣2x+6+3）x=﹣x2+x（1≤x≤3），

∵S=﹣（x﹣）2+，

∴當x=時，S有最大值，最大值為；

（3）

存在．

如圖2，設Q（t，0）（t＞0），則M（t，t+3），N（t，﹣t2+2t+3），

∴MN=|﹣t2+2t+3﹣（t+3）|=|t2﹣t|，

CM==t，

∵△CMN沿CN翻轉，M的對應點為M′，M′落在y軸上，

而QN∥y軸，

∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，

∴∠M′CN=∠CNM，

∴∠M′CN=∠CNM′，

∴CM′=NM′，

∴NM=CM，

∴|t2﹣t|=t，

當t2﹣t=t，解得t1=0（舍去），t2=4，此時Q點坐標為（4，0）；

當t2﹣t=t，解得t1=0（舍去），t2=，此時Q點坐標為（，0），

綜上所述，點Q的坐標為（，0）或（4，0）．

【解析】（1）先把拋物線解析式配成頂點式即可得到D點坐標，再求出C點坐標，然后利用待定系數法求直線l的解析式；
（2）先根據拋物線與x軸的交點問題求出B（3，0），再利用待定系數法求出直線BD的解析式為y=﹣2x+6，則P（x，﹣2x+6），然后根據梯形的面積公式可得S=﹣x2+x（1≤x≤3），再利用而此函數的性質求S的最大值；
（3）如圖2，設Q（t，0）（t＞0），則可表示出M（t，﹣t+3），N（t，﹣t2+2t+3），利用兩點間的距離公式得到MN=|t2﹣t|，CM=t，然后證明NM=CM得到|t2﹣t|=t，再解絕對值方程求滿足條件的t的值，從而得到點Q的坐標．