Question

【題目】（14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．

（1）求過點(diǎn)A，C的直線解析式和過點(diǎn)A，B，C的拋物線的解析式；

（2）求過點(diǎn)A，B及拋物線的頂點(diǎn)D的⊙P的圓心P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使AQ與⊙P相切，若存在請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2，；（2）P（0，）；（3）Q（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式，代入即可得出拋物線的解析式，再設(shè)出直線AC的解析式，利用待定系數(shù)法即可得出答案；

（2）先求得拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（0，Py），根據(jù)A，B，D三點(diǎn)在⊙P上，得PB=PD，列出關(guān)于Py的方程，求解即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）假設(shè)拋物線上存在這樣的點(diǎn)Q使直線AQ與⊙P相切，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2﹣4），根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，即可得出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）；

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x﹣2）（x+2）…①，把C（3，5）代入①得a=1；

∴二次函數(shù)的解析式為：；

設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b（k≠0）…②

把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：y=x+2；

（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），由（1）知D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣4）；

∵A，B，D三點(diǎn)在⊙P上，∴PB=PD，∴，解得： =，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）；

（3）在拋物線上存在這樣的點(diǎn)Q使直線AQ與⊙P相切．

理由如下：設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式得：=，=；

∵AP=，∴=；

∵直線AQ是⊙P的切線，∴AP⊥AQ；

∴，即：=+，解得：=，=﹣2（與A點(diǎn)重合，舍去），∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．