Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點E為線段AB上一動點（不與點A，B重合），連接CE，將∠ACE的兩邊CE，CA分別繞點C順時針旋轉90°，得到射線CE，，CA，，過點A作AB的垂線AD，分別交射線CE，，CA，于點F，G.

（1）依題意補全圖形；

（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示線段AE，AF與BC之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）補全的圖形如圖所示見解析；(2)∠AFC =α+45°；（3）AE，AF與BC之間的數量關系為 .證明見解析.

【解析】

（1）利用旋轉的性質進而得出對應點位置進而得出答案；（2）根據旋轉得出∠ECF=∠ACG=90°，∠FCG=∠ACE=α，最后用三角形的外角的性質即可得出結論；（3）借助（2）的結論判斷出△ACE≌△GCF（ASA），得出AE=FG，再用勾股定理得出AG=

AC，AC=BC，即可得出結論．

（1）補全的圖形如圖所示.

(2)解：由題意可知，∠ECF=∠ACG=90°

∴∠FCG=∠ACE=α

∵過點A作AB的垂線AD

∴∠BAD=90°

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ACB=∠CAD= 45°

∵∠ACG=90°

∴∠AGC=45°

∴∠AFC =α+45°

（3）AE，AF與BC之間的數量關系為

證明：由（2）可知∠DAC=∠AGC=45°

∴CA=CG

∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF

∴△ACE ≌△GCF

∴AE =FG.

在Rt△ACG中，

∴

∴

∵

∴