Question

【題目】已知關于x的二次函數y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.

(1)探究m取不同值時，二次函數y的圖象與x軸的交點的個數情況；

(2)設二次函數的圖象與x軸的交點為A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，與y軸的交點為C，它的頂點為M，求直線CM的表達式．

Answer 1

【答案】答案見解析

【解析】整體分析：

(1)二次函數y的圖象與x軸的交點的個數即是一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4=0的根的個數；(2)由x12＋x22＝5，結合根與系數的關系，確定m的值，得到點C，M的坐標，即可求出直線CM的解析式.

解：（1）根據題意得，

[－(2m－1)]2-4×1×(m2＋3m＋4)=-16m-15，

當-16m-15＞0，即m<，有兩個交點；

當-16m-15=0，即m＝，有一個交點；

當-16m-15＜0，即m>，無交點.

(2)由根與系數的關系得x1＋x2=2m－1，x1x2=m2＋3m＋4.

因為x12＋x22＝(x1＋x2)2-2x1x2，

所以(2m－1)2-2(m2＋3m＋4)=5，解得m1=6，m2=-1，

因為m≤，所以m2=-1，

當m=-1時，二次函數的解析式為y=x2+3x+2,

則二次函數的解析式為y=x2+3x+2的圖象與y軸的交點C（0，2），頂點M（，-）.

設一次函數的解析式為y=kx+2，則=-，解得x=，

所以y＝x＋2.

所以直線CM的表達式為y＝x＋2.