Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，△ABC內接于⊙O．點D在⊙O上，AD平分∠CAB交BC于點E，DF是⊙O的切線，交AC的延長線于點F．

（1）求證；DF⊥AF；

（2）若⊙O的半徑是5， AD=8，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，得OD⊥DF，借助AD平分∠CAB，證明AF∥OD，可證DF⊥AF；

（2）證明△FAD∽△DAB，可得DF長．

（1）證明：連接OD．

∵DF是⊙O的切線，

∴OD⊥DF．

∴∠ODF =90°．

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD =∠DAB．

又∵OA=OD，

∴∠DAB =∠ADO．

∴∠CAD =∠ADO．

∴AF∥OD．

∴∠F+∠ODF =180°．

∴∠F =180°-∠ODF=90°．

∴DF⊥AF．

（2）解：連接DB．

∵AB是直徑，⊙O的半徑是5， AD=8，

∴∠ADB=90°，AB=10．

∴．

∵∠F=∠ADB=90°，∠FAD =∠DAB，

∴△FAD∽△DAB．

∴．

∴．